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ポストモダン解析学: [定義13.3]分割と回転(解決)

http://ashiato45.hatenablog.jp/entry/2013/09/24/201659で夏休みから悩んでた積分の値の極限の一致なのだけれど、ついにC85の三日目の店番中に解決を見た。夜だけど書いておく。

まじめな記述については、足跡45のサイト>ポストモダン解析学の「証明メモを見る」のところにpdfで置いてある。

なんとなくの概略を書いてみるが、ちゃらんぽらんではある。

イメージとしては、fの台を囲む正方形が2つあってその上で棒グラフでfの形を近似しているという状況で、その棒グラフの体積が2つとも大体一致するよね?という話だった。しかし、正方形の分割が互いに斜めになっているかもしれないので、結局その分割したものをあわせると変な三角形とかが出てきて、その「面積」はよく分からないのでそこから先に進めないというのが問題だった。そこで、なんとかその変な図形に対して「面積」を定義するのを回避して、正方形に対する「面積」だけで片付けようと考えていたのが多分C85の1-2日目ぐらい。ちなみに、正方形に「面積」があるのはポストモダン解析学の定義13.3の積分の定義で暗に\int f(x) dx = \sum c_i (l/n)^dと、(l/n)^dの形で表れている。

結局「面積」を具体的に値にするのは最後だけで済ませて、途中に他の多角形に対する「面積」を出すにしてもそれを抽象的なσ(多角形)という実数で済ませようと思った。必要なのは「多角形の『面積』を足すと、その多角形が集ってできている元の正方形の『面積』に一致する」ということなので、それさえ満たせばもはや「面積」は僕等の直感的な面積でなくてもよくて、果ては負の数でさえよいのではないか、ということを考えると多角形の「面積」の値をどう定めるかという問題は「多角形の『面積』を足すと、その多角形が集ってできている元の正方形の『面積』に一致する」を満たすという条件を記述した連立一次方程式が解を持つかという問題に帰着される。で、解を持つかどうかだが、多角形を出鱈目に切り刻んで係数行列のほうを好きなだけ横長にすることができるので、解を持つように無理矢理することができる。あとは直感通り計算するだけ。