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ある点を無限回通る閉曲線


もうちょっと真面目に言うと、電車が混んでいてKindleぐらいしか使えなくて、たまたま入ってたHatcherを読んでいて「n>2のときS^n上の曲線は一点に縮まる」みたいなのが載っていて、その証明を読んでいて考えていた。

曲線は[0,1]でパラメタ付いていているとする。はじめは単位円を1/2秒かけて1周し、1/4秒かけて2周目を回り、1/8秒かけて3周目を回り…とすればよいかなあとか思ったけど、時刻1のところで連続性が失われてしまった。結局もうちょっと修正して、はじめは単位円を1/2秒かけて1周し、1/4秒かけて半径1/2の始点の一致する円を1周し、1/8秒かけて半径1/4の始点の一致する円を一周し…とすると時刻1に近づくにつれて点がどんどん縮んでいって連続性もOKだなあと思った。あとどうでもいいが、この曲線は長さが有限になる。

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