(2018年8月31日追記)別にこのぐらいの積分順序の交換ならルベーグ積分でもできる気がするので「ルベーグ積分を使う」というタイトルは不適切かもです。
数?C の復習中なのです! 「a_n = ∫[π,0] x^2 |sin nx| dx のとき、lim[n→∞] a_n を求めよ。」 という問題をお勉強中っ! ふむふむ、難しいのですよー!
本当は1/nごとに区切って部分積分してを消していったりするのだろうけど検算はしなかった。被積分関数がで抑えられ、積分区間も有界なのでと無関係な可積分関数で抑えられて、優収束定理が適用できることに注意する。
上のフビニの定理の適用のところは、こういう積分範囲をイメージする。
各nに対してとなるi()がただ1つ存在する。これについて、
が成立する。に注意して、
を得る。さっきの計算のつづきで、
高校数学の範囲なら積分の順序変更とか積分と極限の交換は好きにやっていいんじゃないかなあという気もする。
あと、追試が近いので定理の適用の誤解とかあったら教えてください。
追記:
@ashiato45 おおっ! ちなみに正解は、2 π^2 / 3 のようですっ。
確かにあのの積分が間違ってて、
であって、上の計算では
と誤った記憶をもとに計算してしまっていた。山半分の広さが1で、山1つの広さは2です。
したがって、正しくは、
であって、
となって、
となる。悲しい。
追記2:
とのご意見を頂いたので本文を修正しました。