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Atiyah-MacDonaldのProposition 1.11について(prime avoidance lemma, 2/13追記)

Atiyah-MacDonaldの「可換代数入門」のProposition 1.11では、

環Aとそのイデアル\frak aと素イデアル\frak p_1,\dots,\frak p_nについて、
\frak a \subset \bigcup_{i=1}^n \frak p_iとなっているとする。
このとき、あるiに対して\frak a \subset \frak p_iとなる。

ということが書いてある。この素イデアルの条件を外すと不味いのかなと思って、
n=2で反例を探していたのだがずっと見つからなかった。
しかし、今日n=2だと素イデアルの条件なしでも同様のことが言えてしまうと気づいたので書いておく。

示すことは、

環Aとそのイデアル\frak a,\frak b,\frak cについて、\frak a\subset \frak b \cup \frak cが成り立っているとする。
このとき、\frak a\subset \frak b\frak a\subset \frak cかのどちらかが成り立つ。

である。背理法で示す。仮に、
(1)\frak a\subset \frak b\cup \frak c、(2)\frak a \not\subset \frak b、(3)\frak a\not\subset \frak cのすべてが成立していたとする。
仮に、\frak b\subset \frak cだとすると、\frak b\cup \frak c = \frak cとなって(1)に反するので、(4)\frak b\not\subset \frak cである。
同様に、(5)\frak c\not\subset \frak bも成り立つ。(2)、(3)、(4)、(5)より、x \in (\frak b\setminus \frak c)\cap \frak a
y\in (\frak c\setminus \frak b)\cap \frak aが成り立つようなxとyが存在する*1x,y\in \frak aなので、(1)よりx+y\in \frak a\subset \frak b\cup \frak cとなる。
よって、x+y\in \frak bx+y\in \frak cかのどちらかは成立する。
前者が成立するとする。y=(x+y)-xだが、xは定義から、x+yは仮定より\frak bの元なので、y\frak bの元である。
これはyの定義に反し、矛盾である。後者が成立すると仮定すると同様にx\in \frak cが導かれ、矛盾する。
よって、どちらにしても矛盾する。証明おわり。

というわけで少なくともn≧3で探さないと意味がないっぽい。Alloyで探してみようと思う。

2/13追記

id:qnighyさんがn=3で例を見つけてくれました。


2次の項全部で割ってるので有限の環になってます。これならAlloyでも見つけられそう(勉強中)。
加群ぽく考えるのが大事みたいです。

あと、タイトルのprime avoidanceの説明をしてなかったのですが、このAtiyah-MacDonaldのProposition 1.11には
prime avoidanceという名前がついているようで、こんな記事https://en.wikipedia.org/wiki/Prime_avoidance_lemmaがあります。

*1:2/13修正