これは何？
最近ちびちび宮西正宜・増田佳代さんの「代数曲線入門」を読んでいるのですが、わからないところにあたったときに片手間の数学だとなかなか進まないものです。
そんな折OpenAIのChatGPTの新バージョン、GPT4の性能が高いと聞いたので、「試してやろう」とかそういう気持はなく、単に一緒に学ぶパートナーとしてGPT4を試してみることにしました。
わからなかったところ
2.3節「代数曲線の局所環」で、Cをf(X,Y)=0で定まる既約代数曲線とし、Rを座標環k[X, Y]/f(X, Y)としたとき、Cの点とRの極大イデアルが一対一対応するという話をしています。ここで、極大イデアルから点をつくり、そこからまた同じ極大イデアルに戻るところを議論するところで次のように書いてあります。ここで、θはk[X,Y]からRへの全射です。
やってみる
わたし: 代数学の本を読んでいてわからないことがあったので質問します
GPT: もちろん、お手伝いいたします！どんな質問でもどうぞお気軽にお聞きください。どのようなトピックや概念について質問がございますか？
わたし: kを体、fをk[x,y]の元、Rを剰余環k[x,y]/(f)とし、θをk[x,y]からRへの全射とします。このとき、Rの極大イデアルのθでの引き戻しが極大イデアルだと書いてあるのですが、これは一般に正しいのでしょうか？なにか仮定を読み落としているのでしょうか。
GPT: この主張は、kが代数的閉体（すべての非定数多項式が根を持つ体）である場合に限り正しいです。もしkが代数的閉体であるという仮定がない場合、引き戻しイデアルが極大イデアルであるとは限りません。
kが代数的閉体である場合、Hilbertの零点定理によって、多項式環k[x,y]の極大イデアルは、零点が1つだけの多項式から生成されます。この場合、剰余環Rの極大イデアルは、零点を持つfの零点に対応します。θでの引き戻しイデアルは、k[x,y]の極大イデアルになります。したがって、この状況では、Rの極大イデアルのθでの引き戻しは極大イデアルです。
しかし、kが代数的閉体でない場合、この主張は必ずしも成り立ちません。そのため、あなたが読んでいる教科書では、kが代数的閉体であることが仮定されている可能性があります。具体的な文脈や証明に依存しますので、教科書を再確認してください。
実際確認してみると、2章の冒頭でkは標数0かつ代数的閉体であることが仮定されていた！これはありがたい。細かいところはよくわからないので、さらにつづけてみる。
わたし: 本の最初の方に書いてありました。ありがとうございます！ちなみに、kが代数的閉体でないときにそのような例を示すことはできますか？
GPT: もちろん、kが代数的閉体でない場合の反例を示します。
kを実数体Rとし、多項式f(x, y) = x^2 + y^2 - 1とします。これは、単位円を表す多項式です。剰余環R = R[x, y]/(f)を考えます。
R上の点（1, 0）は、f(x, y)の零点です。これに対応する極大イデアルは M = (x-1, y) です。θでの引き戻しイデアルは、R[x, y]のイデアル I = θ^(-1)(M) = (x-1, y) となります。
このイデアルIは、R[x, y]の極大イデアルではありません。なぜなら、IはR[x, y]全体を含んでいないからです。実際、Iは、元 (x-1)^2 + y^2 が含まれていないイデアル (x-1, y) を含んでいますが、この元は、R[x, y]の単位元である1を生成することができます。つまり、
( (x-1)^2 + y^2) - (x-1)^2 = 1
いろいろよくわからないがとりあえずここから始めてみる。
わたし: IがR[x,y]の極大イデアル出ないことの説明がよくわかりませんでした。極大イデアルの定期に従ってもう一度説明してください。
GPT:
申し訳ありません。説明が不十分でした。極大イデアルの定義に従って説明をし直します。環R[x, y]において、イデアルIが極大イデアルであるための条件は、R[x, y]の真の部分環であるIを含むような別のイデアルがR[x, y]自体しか存在しないということです。もしそのような別のイデアルが存在すれば、Iは極大イデアルではありません。
先程の例において、θでの引き戻しイデアルI = (x-1, y) を再検討しましょう。ここで、別のイデアルJ = (x-1, y^2) を考えます。JはIを真に含むイデアルです。つまり、I ⊂ J ⊂ R[x, y] となります。
IがR[x, y]の極大イデアルであるためには、Iを含むようなイデアルがR[x, y]しか存在しない必要がありますが、上記のようにJがその条件を満たさない例が存在するため、Iは極大イデアルではありません。
この反例は、kが代数的閉体でない場合、Rの極大イデアルのθでの引き戻しは必ずしも極大イデアルであるとは限らないことを示しています。
いやおかしい。
わたし:
あれ？IがJの部分集合であるというのは本当ですか？yはIに則していますが、Jには属していないようにみえます。
GPT: おっしゃる通り、私の説明が間違っていました。申し訳ありません。再度説明させていただきます。
kを実数体Rとし、多項式f(x, y) = x^2 + y^2 - 1とします。剰余環R = R[x, y]/(f)を考えます。
R上の点（1, 0）は、f(x, y)の零点です。これに対応する極大イデアルは M = (x-1, y) です。θでの引き戻しイデアルは、R[x, y]のイデアル I = θ^(-1)(M) = (x-1, y) となります。
ここで、IがR[x, y]の極大イデアルでないことを示すために、別のイデアルJを考えます。IがJに真に含まれ、JがR[x, y]全体でないようなイデアルJが存在すれば、Iは極大イデアルではありません。この例では、I = (x-1, y) とし、J = (x^2 + y^2 - 1) とします。
まず、IがJに真に含まれていることを示します。Iの任意の元は、(x-1)とyの線型結合で表されますが、これらはJの元であるx^2 + y^2 - 1には含まれません。従って、IはJに真に含まれています。
次に、JがR[x, y]全体でないことを示します。Jは、f(x, y) = x^2 + y^2 - 1を含むイデアルですが、定数項を持たないため、R[x, y]全体ではありません。
以上より、IがJに真に含まれ、JがR[x, y]全体でないことが示されました。従って、Iは極大イデアルではありません。この例は、kが代数的閉体でない場合、Rの極大イデアルのθでの引き戻しは必ずしも極大イデアルであるとは限らないことを示しています。
どんどん滅茶苦茶になってきた。IとJがあまりに関係ない。
わたし: IがJに含まれることの説明が分かりませんでした。詳しく説明してください。
GPT: 失礼しました。先程の説明は誤りがありました。再度、IがJに真に含まれていることを示します。
実は、先程のJの定義が間違っていました。正しくは、J = (x^2 + y^2 - 1, y) とすべきです。このイデアルJを考えると、I = (x-1, y) はJに真に含まれます。
まず、IがJに含まれていることを示します。Iの生成元である (x-1) と y は、どちらもJに含まれます。なぜなら、(x-1) = (x^2 + y^2 - 1) - y^2 であり、Jの定義によって (x^2 + y^2 - 1) と y はJの生成元であるからです。したがって、Iのすべての元はJに含まれます。
次に、IがJに真に含まれていることを示します。Jの元である (x^2 + y^2 - 1) はIには含まれません。Iのすべての元は、(x-1) と y の線型結合で表されるため、(x^2 + y^2 - 1) をそのような形で表すことはできません。従って、IはJに真に含まれています。
この例において、IがJに真に含まれ、JがR[x, y]全体でないことが示されました。従って、Iは極大イデアルではありません。この例は、kが代数的閉体でない場合、Rの極大イデアルのθでの引き戻しは必ずしも極大イデアルであるとは限らないことを示しています。
なんか線形結合とかいいだした。いろいろおかしいがとりあえず単純な計算がまちがっている。
わたし: (x-1) = (x^2 + y^2 - 1) - y^2 とおっしゃいましたが、計算が間違っていませんか？
GPT: おっしゃる通り、私の説明が間違っていました。申し訳ありません。再度説明させていただきます。
実際、先程の説明は正しくありませんでした。この問題の解決策として、別のイデアルJ' = (x^2 + y^2 - 1, x - 1)を考えてみましょう。
I = (x-1, y) は、J' = (x^2 + y^2 - 1, x - 1) に真に含まれています。なぜなら、Iの生成元である (x-1) は、J'の生成元である (x-1) によって生成されますし、Iのもう一つの生成元である y は (x^2 + y^2 - 1) - (x - 1)^2 = 2x - 2 の倍数であるため、J'にも含まれます。したがって、Iのすべての元はJ'に含まれます。
しかし、J'はR[x, y]全体ではありません。なぜなら、J'の生成元である (x^2 + y^2 - 1) および (x-1) は定数項を持っていないからです。従って、J'はR[x, y]全体ではなく、Iに真に含まれるイデアルです。
この例において、IがJ'に真に含まれ、J'がR[x, y]全体でないことが示されました。従って、Iは極大イデアルではありません。この例は、kが代数的閉体でない場合、Rの極大イデアルのθでの引き戻しは必ずしも極大イデアルであるとは限らないことを示しています。
計算間違いをしたというだけでなんか別のイデアル持ち出してくるあたり不信感がたかまる。問答しているうちに私もよくわからなくなってきたので、最初のテーマに戻ることにした。
GPT:
再度、極大イデアルの引き戻しが極大イデアルであることを説明します。まず、kを体、fをk[x,y]の元、Rを剰余環k[x,y]/(f)とし、θをk[x,y]からRへの全射とします。この場合、kが代数的閉体であると仮定します。
ある極大イデアル M が R 上に存在するとします。θでの引き戻しイデアル I = θ^(-1)(M) を考えます。ここで、Iはk[x,y]のイデアルです。
次に、Iがk[x,y]の極大イデアルであることを示します。これを示すためには、Iがk[x,y]の真の部分環であるIを含むような別のイデアルがk[x,y]自体しか存在しないことを示す必要があります。
仮に、Iを真に含むようなイデアル J が存在し、かつ J が k[x,y]全体でないと仮定します。このとき、剰余環 R' = k[x,y]/(J) は零ではない環となります。さらに、kが代数的閉体であるため、R'は有限次元k-代数であり、代数的閉体上の有限次元代数は半単純です。
R'は半単純であるため、イデアル J は R' の極大イデアルとなります。そして、θでの引き戻しは、M' = θ^(-1)(J) を得ます。しかし、M'はIを真に含むイデアルであり、I自体が極大イデアルであるため、このようなイデアルは存在しません。これは矛盾です。
従って、Iがk[x,y]の極大イデアルであることが示されました。この結果は、kが代数的閉体である場合に限ります。代数的閉体でない場合、Rの極大イデアルのθでの引き戻しは必ずしも極大イデアルであるとは限りません。
え？半単純の話出るの？一応確認。
わたし: すみません、半単純ってなんでしたっけ
GPT: 半単純（半単純環、半単純代数）とは、環論における環や代数の性質を表す用語です。ある環（または代数）が半単純であるとは、その環に非自明な（すなわち、ゼロイデアルと環全体以外の）イデアルが存在しないことを意味します。
言い換えると、半単純環は、自分自身とゼロイデアルしかイデアルを持たない環です。この性質のため、半単純環は「分解」ができないと考えることができます。これは、半単純環が極大イデアルを持たないため、環の構造が単純であることを意味します。
代数的閉体上の有限次元代数は半単純であることが知られており、これが先程の説明で用いられていました。半単純な有限次元代数の性質を利用することで、代数的閉体上で極大イデアルの引き戻しが極大イデアルであることが示されました。
はい。それがどこから出てきてどう効くんだろう。とりあえず証明に戻る。
わたし:
「kが代数的閉体であるため、R'は有限次元k-代数であり」のところを説明してください
GPT:
失礼いたしました。「kが代数的閉体であるため、R'は有限次元k-代数であり」の部分は正確でない説明でした。正しくは、「kが代数的閉体であるため、R'は有限次元k-代数である場合、半単純であります」ということです。この説明では、R'が有限次元k-代数であることを前提としています。この前提が成り立つ場合に、kが代数的閉体であると、R'が半単純になることが知られています。
この性質を利用して、代数的閉体上で極大イデアルの引き戻しが極大イデアルであることが示されました。
再度、説明の混乱を招いたことをお詫び申し上げます。
え、詳しく説明してくださいって言うだけで謝られるの怖すぎる。
わたし: わかりました。その主張を証明してください
GPT: ここで、kが代数的閉体である場合に、有限次元k-代数が半単純であることを証明します。
R'が有限次元k-代数であると仮定しましょう。このとき、R'はk-線型空間として有限次元です。さらに、kは代数的閉体であると仮定しています。
R'に非自明なイデアルI'が存在すると仮定します。I'はR'の真の部分集合であり、I'≠{0} と R'≠I' です。I'上の元x∈I'を取り、x≠0 とします。
xは有限次元k-代数R'の元であるため、xの最小多項式を考えます。最小多項式は、xの根となるようなk上の最も次数の低い多項式です。代数的閉体kでは、最小多項式が線型多項式（次数1）となります。言い換えると、あるc∈kが存在して、x-cが最小多項式となります。
x-cはxの最小多項式ですから、(x-c)x=0が成り立ちます。これは、x^2=cxを意味します。この式をI'に属する任意のy∈I'に適用すると、
y(x^2 - cx) = yx^2 - cxy = y( (x-c)x) = (y(x-c))x = 0 となります。
この結果から、I'はR'全体に一致することがわかります。しかし、これはI'が非自明なイデアルであるという仮定に矛盾しています。
従って、仮定が誤りであり、R'に非自明なイデアルが存在しないことが示されました。これは、R'が半単純であることを意味します。
以上より、kが代数的閉体である場合、有限次元k-代数は半単純であることが証明されました。
ちゃんと読んでないけど最小多項式こんな使い方するの？となる
わたし: 「R'は有限次元k-代数であり」は正しいのですか？
GPT:
大変失礼いた
途中で切れてるけどログがなくなったか間違って私が途中で止めたからだと思う。なんか謝られた。証明をしてくれ。
GPT: おっしゃる通り、証明の一部に誤りがありました。ここでは、代数的閉体kの場合に、極大イデアルの引き戻しが極大イデアルであることを示すための別のアプローチを試みます。
kを代数的閉体、fをk[x,y]の元、Rを剰余環k[x,y]/(f)、そしてθをk[x,y]からRへの全射とします。ある極大イデアルMがR上に存在すると仮定し、θでの引き戻しイデアルI = θ^(-1)(M)を考えます。Iはk[x,y]のイデアルです。
ここで、Iがk[x,y]の極大イデアルであることを示します。これを示すためには、Iがk[x,y]の真の部分環であるIを含むような別のイデアルがk[x,y]自体しか存在しないことを示す必要があります。
仮に、Iを真に含むようなイデアルJが存在し、かつJがk[x,y]全体でないと仮定します。このとき、剰余環R' = k[x,y]/(J)が零ではない環となります。
R'において、非零元r'∈R'を選びます。r'は、元r∈k[x,y]に対応します。つまり、r∈Jかつr∉Iです。ここで、新たな多項式g(x,y)=f(x,y)-r(x,y)を定義します。gはk[x,y]の元であり、g∉Jです。
多項式gはfと同じ根を持ちますが、その係数は異なります。kが代数的閉体であるため、gは非零根を持ちます。この根を(a,b)とします。つまり、g(a,b)=0です。
次に、θを用いて、剰余環R上でa+Iとb+Iに対応する元を考えます。これらの元をそれぞれαとβとします。Rはk[x,y]/(f)ですから、αとβはR上でf(α,β)=0を満たします。
このとき、R上で(a+I,b+I)を通るような極大イデアルが存在するはずです。実際には、Mがこの性質を持ちます。したがって、(a+I,b+I)はMに含まれます。
元r∈k[x,y]は、元r'∈R'に対応します。r'は零でないため、r∉Iです。しかし、(a+I,b+I)がMに含まれることから、(a
これは最後までしゃべってくれてたと思うのでログがのこっていない。なんかもっともらしいが、g∉Jとなる。すぐ謝られてもつまらないので順番に詰めてみることにした。
わたし: fはIに属しますか？
GPT: すみません、説明に不備がありました。改めて説明いたします。
f は I に属します。f は k[x,y] の元であり、R は剰余環 k[x,y]/(f) です。これは、k[x,y] の元を f によって割ったときの剰余を考えることを意味しています。したがって、f はイデアル (f) に属します。
θ は k[x,y] から R への全射です。M が R 上の極大イデアルであり、I = θ^(-1)(M) とすると、I は k[x,y] のイデアルです。θ での引き戻しにより、I は f を含むイデアルになります。つまり、f は I に属します。
そうですよね。
わたし: なるほど。JはIを包含するので、fはJにも属しますよね。
GPT:
はい、その通りです。JはIを真に含むイデアルであると仮定していました。そのため、fがIに属するのであれば、fはJにも属します。このことから、Jはfを含むイデアルであることがわかります。
うんうん。
わたし: なるほど。ここまででfがJに属することがわかりました。rもJの元だったはずです。そうすると、f+rもJの元ということになり、先程おっしゃった「g∉Jです。」に矛盾します。
一応説明すると、Jは「イデアル」という特殊な集合で、ここに属している元同士を足したものはまたここに属すという性質をもっています。例えば、「7の倍数」という集合から出鱈目に14と21という元をとってきて、これを足してみると35になりますが、これもまた7の倍数ですね。なので、「7の倍数全体からなる集合」は整数のなす集合のイデアルになっています。今回、fもrもイデアルJの元なので、g=f+rもJの元なはずなのです。
GPT: おっしゃる通り、説明に矛盾がありました。申し訳ありません。先程の証明は誤りがありました。新たなアプローチで、代数的閉体kの場合に、極大イデアルの引き戻しが極大イデアルであることを示します。
kを代数的閉体、fをk[x,y]の元、Rを剰余環k[x,y]/(f)、そしてθをk[x,y]からRへの全射とします。ある極大イデアルMがR上に存在すると仮定し、θでの引き戻しイデアルI = θ^(-1)(M)を考えます。Iはk[x,y]のイデアルです。
ここで、Iがk[x,y]の極大イデアルであることを示します。これを示すためには、Iがk[x,y]の真の部分環であるIを含むような別のイデアルがk[x,y]自体しか存在しないことを示す必要があります。
仮に、Iを真に含むようなイデアルJが存在し、かつJがk[x,y]全体でないと仮定します。このとき、剰余環R' = k[x,y]/(J)が零ではない環となります。R'はkの有限次元代数であるとは限らないため、半単純性は保証されません。
この状況下で、極大イデアルの引き戻しが極大イデアルであることを示すのは困難です。先程の説明は誤りであり、申し訳ありません。代数的閉体でない場合と同様に、代数的閉体の場合でも、極大イデアルの引き戻しが極大イデアルであるという性質は一般には成立しないかもしれません。
あ、諦めた……
